Lógica Matemática

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Socorro Leticia Romo Martínez 

Lugar y Fecha : Guadalajara, Jalisco, Febrero del 2003 

Ciudad Bugambilias, Zapopan, Jal. 
 

UNIVERSIDAD ABIERTA 
 
 
 
 

1. Introducción
 

La lógica matemática es una variedad de la lógica filosófica. Podemos  pensar a la lógica como el estudio del razonamiento correcto.  El razonamiento es el proceso de obtener conclusiones a  partir de suposiciones o hechos. El razonamiento correcto es el razonamiento en el que las conclusiones se siguen necesaria e inevitablemente de las suposiciones o hechos. 
 

2. Inducción, Deducción 

Existen dos tipos básicos de razonamiento: el inductivo y el deductivo.

Si se acepta como válido un principio general, basándose en una serie de experiencias específicas o particulares, se está realizando un razonamiento inductivo. 

Si, por el contrario, partiendo de una ley general cuya validez se conoce, se infiere la veracidad o falsedad de un caso en particular, se está efectuando un razonamiento deductivo. 

3. Proposiciones o enunciados 

Se define como proposición o enunciado a una oración declarativa carente de ambigüedad, que es verdadera o falsa, pero nunca las dos cosas simultáneamente. 

La veracidad o falsedad de un enunciado se llama su "Valor de Verdad". Los términos verdadero o falso se consideran como atributos de una proposición, excluyéndose de ellos toda interpretación filosófica. 

3.1 Proposiciones Abiertas 

Una proposición abierta (o función proposicional) es una expresión que contiene una variable y que al ser sustituida dicha variable por un valor determinado, hace que la expresión se convierta en una proposición. ((V) ó (F)). p(x); p(x,y,z, ..). 

El conjunto que consiste de los elementos que pueden reemplazar a la variable de una proposición abierta, lo llamaremos el Dominio de la variable. 

El conjunto formado por aquellos elementos del dominio de la variable que hacen verdadera la proposición abierta p(x), lo llamaremos el conjunto solución de la proposición abierta p(x). 
 

3.2 Proposiciones Cerradas 

Si dentro del enunciado de una proposición no aparece ninguna variable, y por consiguiente tiene un valor de verdad definido, la proposición es cerrada. 

4. Proposiciones Compuestas 

En aritmética se realizan operaciones mediante operadores elementales, tales como +, - , x, ÷, etc. En lógica matemática se dispone de los denominados operadores lógicos, que permiten modificar proposiciones, o asociar dos o más enunciados simples, convirtiéndolos en proposiciones compuestas. 

Conectivos lógicos 

Permiten relacionar proposiciones para formar nuevas proposiciones. Igualmente permiten definir “operaciones” en los conjuntos para obtener nuevos conjuntos. 
 

Tabla conectivos lógicos.

 

Conjunción.

“y”.

 

Disyunción.

“o”.

 

Condicional.

“si p entonces q”.

 

Negación.

“no”.

 

Bicondicional.

(ó doble implicación).

“p si y sólo si q”.

 
 

El valor de verdad de una proposición compuesta depende del valor de verdad de cada proposición simple que la compone, y del tipo de operador empleado. 

Negación 

La negación de una proposición hace cambiar el valor de verdad de la proposición original.

Si p es una proposición cualquiera, la negación de p puede representarse de la siguiente manera:

p’

O alternativamente:

~p

Y se lee:

p’ : No p

p’ : Es falso que p 
 
 
 

Conjunción 

Dos enunciados simples pueden combinarse mediante la letra y para formar una proposición compuesta, que es la conjunción de los primeros enunciados.

Si p y q son dos proposiciones cualesquiera, su conjunción se escribe p y q, y se representa simbólicamente:

p Ùq

O alternativamente:

p . q

El valor de verdad de la conjunción de dos proposiciones es verdadero únicamente si los valores de verdad de ambos enunciados son verdaderos 

Disyunción Inclusiva 

Si integramos dos enunciados mediante la letra o, el nuevo enunciado se llama disyunción inclusiva de los dos anteriores, o disyunción.

Si p y q son dos proposiciones, su disyunción inclusiva se escribe p o q, y se simboliza:

p Úq

O alternativamente:

p + q

El valor de verdad de la disyunción inclusiva es falso exclusivamente cuando los valores de verdad de los dos enunciados originales son falsos. 

Disyunción Exclusiva

Una variante de la disyunción inclusiva es la disyunción exclusiva, cuyo valor de verdad es verdadero solamente cuando uno de los valores de verdad de las proposiciones asociadas es verdadero. Si las dos proposiciones son verdaderas o las dos son falsas, el valor de verdad de la disyunción exclusiva es falso.

Si p y q son dos proposiciones, su disyunción exclusiva se escribe p ó q y se simboliza:

p Ú q 

Condicional o Implicación Material

Si p y q son dos enunciados, la proposición compuesta si p entonces q se llama condicional de p y q, y se escribe:

p ® q

Siendo la proposición p el antecedente del condicional y q el consecuente.

El valor de verdad del condicional es falso solamente si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

Otras maneras de describir literalmente el condicional son las siguientes expresiones:

p ® q: p es condición necesaria para q

p ® q: q es condición suficiente para p 
 
 
 

Conversa, Inversa y Contrapositiva del Condicional

Si se tiene un condicional de la forma p ® q, quedan definidas las siguientes expresiones:

q ® p : conversa de p®  q

p’ ® q’ : inversa de p®  q

q’®  p’ : contrapositiva de p® q 

Bicondicional

Se define como bicondicional de dos proposiciones (p, q), a la conjunción de los dos condicionales posibles (p ® q , q ® p), es decir que la proposición p es condición para q y, al mismo tiempo, la proposición q es condición para p.

El bicondicional se representa:

p « q

De una manera literal el bicondicional se expresa:

P« q : p si y sólo si q

p « q : p es condición necesaria y suficiente para q

p « q : p es condición para q y q es condición para p

p«  q : si p entonces q y si q entonces p

El valor de verdad del bicondicional es verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas o cuando ambas son falsas. 
 

5. Polinomios Booleanos o fórmulas 

Al ligar variables algébraicas mediante operadores (+, - , x, ÷) y signos de agrupación, se generan los denominados polinomios algébricos.

Ejemplo

Reducir a un polinomio algébrico la siguiente expresión:

(x.x.x) - 2(x.y.z.y) + 4(x.x.y) - (z.z) + 3(z.y.z.z)

El polinomio simplificado es:

x3 - 2xy2z + 4x2y - z2 + 3yz3

De igual forma, relacionando proposiciones mediante operadores lógicos y signos de agrupación, se pueden construir polinomios booleanos o fórmulas. 

El valor de verdad de una fórmula depende de los valores de verdad de las proposiciones simples que la conforman y de las operaciones que en ella se realizan. 
 
 
 
 

El orden de ejecución de las operaciones, dentro de un polinomio booleano está definido por la siguiente secuencia de prioridades: 

i. En primer término se ejecutan las operaciones definidas por los signos de

agrupación.

ii. La segunda prioridad la tiene la operación de negación.

iii. Las operaciones condicional y bicondicional tienen un tercer nivel de prioridad.

iv. La conjunción y disyunción tienen un cuarto y último nivel de prioridad. 

En general, si no existen símbolos de agrupación que prioricen las operaciones consecutivas de igual nivel, se las ejecuta de izquierda a derecha. 

Para representar polinomios booleanos se emplean las primeras letras minúsculas del alfabeto. Así, si un polinomio involucra a las proposiciones p, q, r, ..., se puede simbolizar:

a(p, q, r, ...), b(p, q, r, ...), c(p, q, r, ...), ...

Su representación simplificada es:

a, b, c, ... 

Las operaciones que se realizan con proposiciones pueden ser efectuadas con polinomios booleanos, siguiendo las mismas reglas del algebra de proposiciones, ya que los polinomios booleanos participan de la misma propiedad básica de las proposiciones simples, cual es el atributo de veracidad o de falsedad. 

6. Tablas de Valores de Verdad

Las tablas de valores de verdad constituyen una manera objetiva de detallar los valores de verdad de proposiciones compuestas y polinomios booleanos, dependiendo de los valores de verdad de las variables y constantes proposicionales que los conforman. 
 

             

V

V

F

V

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

V

F

V

V

F

F

F

V

F

F

V

V

 
 
 
 

   1 Decimos que dos proposiciones son equivalentes cuando tienen la misma tabla de verdad (en todas sus interpretaciones). También decimos que dos proposiciones son equivalentes cuando la bicondicional que se forma entre ellas es una tautología y viceversa.  
 
 

   2. Según la tabla de verdad que tiene una proposición, esta se clasifica en tautología, contradicción e indeterminación.  

Una proposición se llamará tautología si para cualquier valor de sus componentes (en cualquiera de sus interpretaciones), su valor de verdad siempre es verdadero.  

Una proposición será llamada una contradicción si para cualquier valor de sus componentes (en cualquiera de sus interpretaciones), su valor de verdad siempre es falso.  

Se dice que una proposición es una indeterminación cuando su tabla de verdad tiene valores de verdadero y de falso.  

Una implicación es una condicional de la forma, tal que es verdadera suponiendo que p es verdadera, y tiene que existir una relación causa-efecto entre p y q. Además, una implicación entre p y q se escribe, y se lee "p implica a q" ó "si p entonces q".  

Una equivalencia es una bicondicional de la forma, en donde es una implicación y es también una implicación. Se escribe, y se lee "p es equivalente a q" o

"p si y sólo si q".  

Sean A, B dos conjuntos cualesquiera, diremos que si y sólo si   .

. 

6.1 Fórmulas Tautológicas 

Son aquellas expresiones lógicas cuyo valor de verdad es siempre verdadero, sin importar los valores de verdad que tengan las variables proposicionales. Las tablas de valores de verdad de las tautologías tienen exclusivamente valores de verdad verdaderos, en la columna correspondiente. 
 

6.2 Fórmulas Contradictorias 

Son aquellos polinomios booleanos cuyo valor de verdad es siempre falso, sin importar los valores de verdad de las distintas variables proposicionales. Las tablas de valores de verdad de las fórmulas contradictorias contienen únicamente valores de verdad falsos. 
 
 
 
 
 
 

  1. Leyes del Algebra de proposiciones
 

7.1 Conmutativas:

La conjunción, la disyunción inclusiva y la disyunción exclusiva poseen la propiedad conmutativa, lo que se representa:

p Ù q º q Ù p

p Ú q º q Ú p

p Ú q º q Ú p 

Para demostrar estas leyes se emplean las tablas de valores de verdad de las dos expresiones lógicas que aparecen a cada lado de las equivalencias lógicas. 

p

q

p Ù q

q Ù p

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

V

F

F

F

F

V

F

V

F

F

V

V

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

   

1

5

2

3

6

4

 
 

p

q

p Ú q

q Ú p

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

V

V

F

F

V

V

F

V

F

V

V

V

V

F

F

F

F

F

F

F

F

F

   

1

5

2

3

6

4

 
 

p

q

p Ú q

q Ú p

V

V

V

F

V

V

F

V

V

F

V

V

F

F

V

V

F

V

F

V

V

V

V

F

F

F

F

F

F

F

F

F

   

1

5

2

3

6

4

 

Se puede observar claramente que si se cambia el orden de las proposiciones simples en las operaciones de conjunción, disyunción inclusiva y disyunción exclusiva, la tabla de valores de verdad no se altera, por lo que, tanto la conjunción como la disyunción inclusiva y la disyunción exclusiva gozan de la propiedad conmutativa. 
 
 
 
 
 
 

7.2 Leyes de Identidad:

Si se define por V a una expresión lógica cuyo valor de verdad es siempre verdadero (expresión tautológica), y por F a una expresión lógica que siempre es falsa (expresión contradictoria), se cumplen las siguientes equivalencias lógicas:

                                                      V Ù p º p

                                                      V Ú p º V

                                                      F Ù p º F

                                                      F Ú p º p

Para demostrar estas propiedades se emplean las respectivas tablas de valores de verdad. Debe anotarse que las expresiones V y F son constantes proposicionales o constantes lógicas, pues su valor de verdad no puede cambiar. 
 

    1. Leyes Asociativas:
 

La conjunción, la disyunción inclusiva y la dsiyunción exclusiva tienen la propiedad asociativa, lo que se expresa: 

                                  (p Ù q) Ù r º p Ù (q Ù r) º p Ù q Ù r

                                 (p Ú q) Ú r º p Ú (q Ú r) º p Ú q Ú r

                                  (p Ú q) Ú r º p Ú (q Ú r) º p Ú q Ú r 

La tabla de valores de verdad correspondiente a la propiedad asociativa de la conjunción es: 

p

q

r

( p Ù q ) Ù r

p Ù ( q Ù r)

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

V

V

V

F

F

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F

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V

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F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

     

1

7

2

8

3

4

10

5

9

6

 

Al comparar las columnas con ordinales 8 y 10, se obtienen valores de verdad idénticos, por lo que se deduce que la conjunción posee la propiedad asociativa, es decir, que si en una expresión lógica aparecen varias conjunciones en cadena, se las puede agrupar de la manera más conveniente, sin afectar al resultado final, desde un punto de vista lógico. 
 
 
 
 
 

La tabla de valores de verdad de la propiedad asociativa de la disyunción inclusiva es: 
 

p

q

r

( p Ú q ) Ú r

p Ú ( q Ú r)

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

V

V

V

V

F

V

V

V

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F

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F

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F

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V

V

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F

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F

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F

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F

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F

F

F

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F

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V

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F

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F

F

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V

V

F

F

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V

V

F

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F

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F

F

F

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

     

1

7

2

8

3

4

10

5

9

6

 
 

Los valores de verdad de las columnas 8 y 10 son iguales, por lo que la disyunción inclusiva también posee la propiedad asociativa, lo que significa que si en una expresión aparecen varias operaciones de disyunción inclusiva en cadena, se las puede agrupar arbitrariamente. 

La tabla de valores de verdad de la propiedad asociativa de la disyunción exclusiva es: 

p

q

r

( p Ú q ) Ú r

p Ú ( q Ú r)

V

V

V

V

F

V

V

V

V

V

V

F

V

V

V

F

V

F

V

F

F

V

F

V

V

F

V

F

V

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F

F

V

V

F

F

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F

F

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F

V

F

V

V

F

F

F

F

V

V

F

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F

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F

F

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F

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F

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F

F

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V

V

F

F

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F

F

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V

F

F

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V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

     

1

7

2

8

3

4

10

5

9

6

 

Los valores de verdad de las columnas 8 y 10 son iguales, por lo que la disyunción exclusiva también posee la propiedad asociativa, lo que significa que si en una expresión aparecen varias operaciones de disyunción exclusiva en cadena, se las puede agrupar arbitrariamente. 
 
 
 

7.4 Leyes de Idempotencia:

La conjunción entre una proposición y ella misma es lógicamente equivalente a la propia proposición.

p Ù p º p

La disyunción inclusiva entre una proposición y ella misma es equivalente a la proposición dada.

p Ú p º p 

Las tablas de valores de verdad respectivas son: 

p

p Ù p

p Ú p

V

V

V

V

V

V

V

F

F

F

F

F

F

F

 

1

5

2

3

6

4

 

Al observar las tablas de valores de verdad se pueden verificar las leyes de idempotencia.

  1. El Lenguaje de las matemáticas como Lenguaje Analítico.

Es importante aprender a analizar el lenguaje matemático y  poder expresarlo en un lenguaje analítico. Poder expresarse correctamente con él y saber traducir enunciados del lenguaje natural al lenguaje analítico y viceversa.

 

.El uso de cuantificadores y variables no es común en el lenguaje coloquial, sin embargo cuando se comprende todo el poder expresivo y a la vez riguroso de ellas se ha dado el primer paso para saber expresarse con él. 

                                      "todo S es P"        y       “algún S es P"

que se representan  como: 

                                     "x [S(x) ® P(x)]    y        $x [S(x) Ù P(x)] 

respectivamente, donde S(x) simboliza “x es S" y P(x) simboliza " x es P".  

Ejemplos de traducción de la forma anterior son las cuantificaciones acotadas por conjuntos, que son expresiones de la forma: 

donde A es un conjunto y P(x) denota una propiedad acerca de x. Las expresiones anteriores son abreviaturas usuales en matemáticas, respectivamente de los enunciados: 

Es común cometer errores en alguno de estos casos al traducir, si bien no hay una regla formal, es bueno recordar que los juicios universales se escriben con implicación y los existenciales con conjunción. Eso no quiere decir que no pueda aparecer un cuantificador universal con conjunción o un existencial con implicación, sino que no es usual.

Por ejemplo considérese el caso de las fórmulas  "x[G(x)®M(x)] y "x[G(x)ÙM(x)], si G(x) significa “x es gato” y M(x) significa “x maúlla”, entonces la primera fórmula traduce la afirmación “todos los gatos maúllan”,  mientras que la segunda nos dice algo mucho más fuerte que es “todos son gatos y maúllan”.

El caso del existencial con una implicación es más complicado pues tiene un significado extraño y poco usual. 

Hay que hacer notar que aunque el lenguaje analítico o formal es limitado por su carácter tan riguroso, tiene varias ventajas, como son:  

         a) Evitar la ambigüedad del lenguaje natural.

         b) Ser conciso y riguroso.

  1. Inducir a la concentración en lo que es esencial.
  2. Economía de pensamiento.
 

Pero aún así, muchas nociones se pueden expresar de varias formas distintas entre sí, pero lógicamente equivalentes, es decir, que ambas significan exactamente lo mismo, para cualquier interpretación.  Por ejemplo, expresemos "hay un único número primo par" de tres formas distintas pero lógicamente equivalentes, usando P(x) para simbolizar “x es número primo par": 

También hay que hacer notar que algunos enunciados no se pueden traducir con todo su significado intuitivo por el contenido psicológico que tienen algunas palabras, como por ejemplo, la palabra "pero", cuya traducción aceptada es una conjunción; es decir, simplemente como una "y", pero que, sin embargo, significa algo más que "y"; algo como no deseado o no esperado y que se quiere enfatizar.  Esto no se recupera al traducirlo al lenguaje analítico.  Por ejemplo, "6”

es par pero no es múltiplo de 4", se traduce como "6 es par y 6 no es múltiplo de 4". 
 
 

Otro ejemplo es la expresión "a menos que", la cual se traduce simplemente como una disyunción, o sea, como "o", aunque el contenido psicológico induce a muchas personas a traducirla como una disyunción excluyente: "uno u otro pero no ambos". Por ejemplo, “iré de vacaciones a menos que no tenga dinero”, se traduce como “iré de vacaciones o no tengo dinero”. 

El lenguaje analítico es un valioso instrumento para analizar, aclarar y expresar en forma precisa, el significado de enunciados del lenguaje ordinario, ya sea del discurso común o de las ciencias.  Este lenguaje permite enunciar lo que queremos, más explícitamente que el lenguaje ordinario, y expresar ideas complejas evitando las ambigüedades que la estructura del lenguaje cotidiano no puede eliminar con facilidad.  

Pongamos como ejemplo el enunciado: “él la vio a ella con el telescopio”. No sabemos si él la vio a ella a través del telescopio o si él la vio a ella y ella llevaba un telescopio. En el lenguaje analítico se puede precisar exactamente lo que se quiere decir de modo que estas ambigüedades desaparecen. Pero estas ventajas tienen un precio: hay que aprender a hacer distinciones poco comunes.  Hay que dominar un nuevo lenguaje, y las nuevas formulaciones de enunciados aparentemente simples, son resultado de un trabajo analítico cuidadoso. 

A pesar de lo anterior, el uso del lenguaje lógico se ha revelado como útil no sólo en los campos prácticos del discurso, sino ante todo, en la investigación de la lógica, la matemática pura y aplicada y en general en el razonamiento correcto. 0 sea en investigaciones en las cuales hay que registrar distinciones sutiles, y en las que vale la pena conseguir un máximo de explicitación y de rigor en los enunciados y en las demostraciones. 
 

                  Es muy importante aprender a conocer los criterios de verdad de los conectivos, los cuantificadores y la igualdad y saber analizar, a partir de ellos, la verdad o falsedad de cualquier enunciado interpretado, especialmente el caso del condicional.  

Es necesario conocer claramente los criterios de verdad para la negación, la disyunción, la conjunción, el condicional, el bicondicional, la cuantificación existencial y la cuantificación universal. 

Una interpretación para el lenguaje analítico consiste de un conjunto de objetos llamado universo de la interpretación y de relaciones, operaciones y elementos particulares de ese universo de la interpretación. 
 
 

Supongamos que P y Q representan afirmaciones expresadas en el lenguaje analítico y que respecto a una interpretación dada son verdaderos o falsos.  Los criterios de verdad son los siguientes: 

9.1  Una negación "no P" denotada (ØP), es verdadera respecto a la interpretación       dada, si P es falsa respecto a esa interpretación. 

9.2 Una disyunción "P o Q" denotada (P Ú Q), es verdadera respecto a la         interpretación dada, si P es verdadera respecto a esa interpretación o Q es verdadera respecto a esa interpretación.  Queda incluida aquí la posibilidad de que ambas, P y Q, sean verdaderas respecto a esa interpretación. 

    1. Una conjunción "P y Q" denotada (P Ù Q), es verdadera respecto a la

interpretación dada, si P es verdadera respecto a esa interpretación, y Q es verdadera respecto a esa interpretación. 

9.5.   Una bicondicional "P si y sólo si Q" denotada (P « Q), es verdadera

respecto a la interpretación dada, si ambas P y Q son verdaderas respecto a esa interpretación, o bien ambas P y Q son falsas respecto a tal interpretación. 

    1.   Una cuantificación existencial  ($x Q) es verdadera respecto a la

interpretación dada, si hay al menos un individuo en el universo de esa interpretación, tal que Q es verdadera respecto a esa interpretación y  respecto a ese individuo. 

    1. Una cuantificación universal ("x Q) es verdadera respecto a la interpretación

dada, si para todos los individuos en el universo de esa interpretación, Q es verdadera respecto a esa interpretación y respecto a cada uno de ellos. 

Es importante tener claro que la verdad o falsedad de un enunciado en una interpretación depende de lo que signifiquen - respecto a la interpretación dada - las relaciones, operaciones y objetos individuales acerca de los cuales "habla" el enunciado.  Esto es, la verdad de un enunciado depende de la interpretación y no es en general absoluta, sino relativa a la interpretación.  
 
 
 

Es decir, un mismo enunciado puede ser verdadero en una interpretación y falso en otra; por ejemplo el enunciado 

                                             $x "y [x < y Ú x = y] 

(hay un individuo en la relación " < " con, o es igual a, cualquier individuo), es verdadero respecto a la interpretación que consiste de N (los números naturales) con su relación de orden usual, pues hay uno menor o igual que todos, pero es falso respecto a la interpretación que consiste de Z (los números enteros) con su relación de orden usual, pues no hay uno menor o igual que todos.  Es verdadero también respecto a la interpretación que consiste de P(A) (llamado potencia de A,

el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto A), con la relación “Ì” de contención propia entre conjuntos, pues hay uno contenido en todos (el vacío). 

Un caso especial que es excepción de la relatividad de la verdad explicada en el párrafo anterior, es el caso de los enunciados universalmente verdaderos o universalmente válidos o verdades lógicas, que son verdaderos respecto a cualquier interpretación, debido sólo a su forma, por lo cual se consideran vacíos de contenido, pero son muy útiles en las demostraciones y en los razonamientos correctos. 

Ejemplos de enunciados universalmente válidos son: 

i) P(c) Ú Ø P(c)  "c cumple la propiedad P o no la

                  cumple" 

ii) [P(x) ® Q(x)] « [ØQ(x)®ØP(x)] "es el caso que x cumple Q si cumple P,

                   si y sólo si es el caso que x no cumple P

                  si no cumple Q" 

      "No hay en el universo de interpretación un individuo tal que todos los individuos (de ahí) que no están en la relación R consigo mismos, estén en la relación R con él, y sólo esos." 

Este enunciado universalmente válido es la explicación lógica a la Paradoja de Russell, ya que interpretando R(y,x) como "yÎx" en el universo de los conjuntos, y traduciéndolo al lenguaje natural, tenemos la versión conjuntista de la paradoja: "no hay un conjunto cuyos elementos sean exactamente los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos, y sólo esos". Este conjunto no puede existir por una razón que es esta verdad lógica 

Interpretando R(y,x) como "x rasura a y" en el universo de los hombres de Jonesville, tenemos la versión popular del barbero: "no hay un hombre ahí que rasure exactamente a aquellos que no se rasuran a sí mismos, y sólo a esos"  

10.  Equivalencias Lógicas 

Dos enunciados P y Q son lógicamente equivalentes si y sólo si respecto a cualquier interpretación, ambos P y Q significan exactamente lo mismo. Es decir, para cualquier interpretación ambos P y Q son verdaderos o ambos son falsos.  Así pues, sin importar cual sea la interpretación, si P es verdadero entonces Q es verdadero y si Q es verdadero entonces P es verdadero.  Esto lo denotamos P º Q y se lee "P es lógicamente equivalente a Q", o bien "P y Q son lógicamente equivalentes". 

Si P y Q son proposiciones cualesquiera, las siguientes son ejemplos de equivalencias lógicas:

   Leyes de la Negación                                     

      ØØ P     º     P  (P ®  Q) º   (ØQ ® ØP)

        Ø(P Ù Q)   º (ØP Ú ØQ)  (P ®  Q) º   (Ø P Ú Q)

        Ø(P Ú Q)   º (ØP Ù ØQ)  (P ®  Q)   º Ø(P Ù ØQ)

       Ø(P ® Q)   º (P ÙØQ)       "x P    º   Ø$x ØP

       Ø(P « Q)   º (P Ù ØQ)Ú (Q ÙØP)        $x P º   Ø"x ØP

       Ø"x P    º $x ØP     "x (P Ù Q)  º   ("x P Ù "x Q)

       Ø $x P    º    "x ØP     $x (P Ú Q)   º  $x P Ú $x Q

                      "x (P Ú Q)  º/º  "x P Ú "x Q

                      $x (P Ù Q)  º/º  $x P Ù $x Q 
 
 
 

  1. Análisis de Argumentos
 

Es muy importante saber analizar argumentos para determinar si un argumento dado es correcto o no, independientemente de la verdad o falsedad de la conclusión y de las premisas; es decir analizar el argumento por su forma lógica y no por su contenido.  

Un argumento es un conjunto finito y ordenado de afirmaciones de las cuales se dice que la última, llamada conclusión, se sigue de las anteriores, llamadas premisas. 

Un argumento es correcto si y sólo si la conclusión es consecuencia lógica de las premisas; esto quiere decir que para cada interpretación del lenguaje respecto a la cual todas las premisas son verdaderas, la conclusión será necesariamente verdadera.  

Un argumento es correcto o incorrecto, independientemente de sus interpretaciones. Dicho de otra manera, es correcto si no hay interpretación alguna para la cual las premisas sean todas verdaderas y la conclusión sea falsa.  

Esto es sumamente importante en matemáticas, ya que las pruebas en matemáticas son argumentos o sucesiones de argumentos, y estos deben ser argumentos correctos.  Resulta pues obvia la importancia de saber si un argumento dado es correcto o no lo es.  

Hay ejemplos de los cuatro tipos de argumentos: correctos con conclusión verdadera, correctos con conclusión falsa, incorrectos con conclusión verdadera e incorrectos con conclusión falsa. (Aquí verdadera o falsa es respecto a la interpretación usual o intencional.) 

En un argumento correcto, si las premisas son verdaderas con alguna interpretación, la conclusión será necesariamente verdadera con esa interpretación.  Por lo tanto, en un argumento correcto, si la conclusión es falsa de acuerdo con alguna interpretación, entonces al menos una de las premisas debe ser falsa con esa interpretación. 

Si el argumento es incorrecto lo único que podemos decir es que hay una interpretación para la cual las premisas son verdaderas y la conclusión es falsa, pero con otras interpretaciones puede suceder cualquiera otra posibilidad.  
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplos de lo anterior, con la interpretación intencional para verdadero o falso, son los siguientes: 
 

    A) ARGUMENTO CORRECTO CON  C) ARGUMENTO  INCORRECTO      CONCONCLUSIÓN  VERDADERA     CON  CONCLUSIÓN  VERDADERA 

      Todo múltiplo de 6 es  Todo número con exactamente

      múltiplo de 3.  dos divisores es primo.

      12 es múltiplo de 6.  4 no tiene exactamente dos

           \12 es múltiplo de 3.  divisores. (Tiene tres: 1,2,4)

                  \4 no es primo. 
 
 

B)  ARGUMENTO  CORRECTO               D) ARGUMETO   INCORRECTO

CON   CONCLUSIÓN  FALSA           CON   CONCLUSIÓN  FALSA 

      Todo múltiplo de 4 es par.  Todo múltiplo de 6 es par.

      5 es múltiplo de 4.  8 no es múltiplo de 6.

      \ 5 es par.  \8 no es par. 

Debe ser claro que los dos ejemplos de argumentos incorrectos C) y D) tienen la misma forma y que el hecho de que la conclusión pueda ser verdadera (con la interpretación intencional) es una contingencia; es decir, se debe a la casualidad si únicamente consideramos las premisas dadas. 
 

Debe ser claro también que en el ejemplo B) de argumento correcto con conclusión falsa, por el hecho de ser un argumento correcto, necesariamente alguna de las premisas debe de ser falsa con la interpretación intencional, que en estos casos es la interpretación de la aritmética de los números naturales. 

Ahora bien, ¿cómo podemos demostrar que un argumento incorrecto es efectivamente incorrecto?.  La manera de hacerlo es dando una interpretación conveniente o adecuada a los términos y predicados involucrados, de modo que resulte (respecto a esa interpretación) que las premisas sean todas verdaderas y la conclusión sea falsa.  Esto ocurre en el argumento D) con la interpretación usual de la aritmética tal como está. 
 
 
 

Para demostrar que el argumento C) es incorrecto, la interpretación intencional no sirve pues respecto a ella, tanto las premisas como la conclusión son verdaderas. Daremos otra interpretación con la misma forma lógica respecto a la cual las premisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa; una interpretación así para C) es la siguiente: 

                       Todo polinomio con exactamente

                       dos raíces es cuadrático.

                             X2-4x+4 no tiene exactamente dos

                             raíces. (Su única raíz (doble) es 2)

                      \X2 - 4x + 4 no es cuadrático. 

La manera directa de demostrar que un argumento es correcto consiste en suponer verdaderas a todas las premisas (con respecto a alguna interpretación), sin tomar en cuenta la interpretación intencional, ni ninguna interpretación en particular, y a partir de eso, usando únicamente los criterios de verdad, hacer ver que la conclusión es necesariamente verdadera; independientemente de cual fuera la interpretación.  En algunos casos la manera directa no es realizable, por lo que hay que hacerlo de modo indirecto, por reducción al absurdo, es decir suponiendo que hubiera una interpretación respecto a la cual todas las premisas fueran verdaderas y la conclusión fuera falsa, y a partir de ahí llegar a una contradicción. 

Cuatro ejemplos de argumentos de la misma forma de los anteriores pero con interpretación intencional distinta. Para mostrar que C) es incorrecto basta con cambiar  “ave” por “animal”. 

    A) ARGUMENTO CORRECTO CON  C) ARGUMENTO  INCORRECTO      CONCONCLUSIÓN  VERDADERA     CON  CONCLUSIÓN  VERDADERA

      Todo hombre es mortal.        Todo pingüino es ave.

      Sócrates es hombre.        Mi perro no es pingüino.

           \Sócrates es mortal                             \ Mi perro no es ave. 
 

B)  ARGUMENTO  CORRECTO               D) ARGUMETO   INCORRECTO

CON   CONCLUSIÓN  FALSA           CON   CONCLUSIÓN  FALSA

      Toda ave es voladora.  Todo pez es nadador.

      El avestruz es ave.  El delfín no es  pez (es mamífero).

      \ El avestruz es voladora.  \El delfín no es nadador. 
 

Si en un argumento, la conclusión es falsa con alguna interpretación, sólo podemos concluir que, o bien el argumento es incorrecto, o bien alguna de las premisas es falsa. 
 
 

12. Métodos de demostración en Matemáticas 

En este punto es muy importante discutir acerca de ¿por qué es necesario demostrar en matemáticas?  Esto nos lleva a establecer la distinción entre "mostrar" y "demostrar".  Hay pruebas de afirmaciones que realmente son "mostraciones" en el sentido de sólo mostrar, para que se vea "con los ojos", que la afirmación es verdadera.  Tal puede ser el caso de una mostración visual del Teorema de Pitágoras; pero hay razones que justifican la necesidad de demostrar, en el sentido de apartarse de la evidencia visual, en el caso de que ésta no sea posible o no sea clara, o bien pueda llevar a confusiones.  Esto último se puede ejemplificar con "pruebas" falaces que usan la evidencia visual de una figura, de modo incorrecto.

          

Así pues, es importante entender  lo que sí es y de lo que no es demostrar, así como de cuándo una demostración está terminada.  También es muy importante aclarar la diferencia entre el proceso de descubrimiento de una demostración (heurística) y la formalización y organización lógico deductiva de ella, lo cual constituye la demostración propiamente dicha. 

Entre los métodos de demostración indirectos, veremos los siguientes: por contrapositiva, por casos y por reducción al absurdo.  

  1. Por contrapositiva.  Es para afirmaciones de la forma "si A entonces B" y consiste en suponer "no B" y demostrar con esta suposición extra, que "no A".  Así pues, lo que se hace es probar: "si no B entonces no A", que es lógicamente equivalente a la afirmación original; es decir, el enunciado

      Puede entonces concluirse en forma correcta que A, ya que se probó el

       enunciado: 

                    (C1ÚC2Ú ... ÚCn ) Ù [(C1 ® A) Ù (C2 ® A) Ù . . . Ù (Cn ® A)] 

       y resulta que el enunciado:

               [(C1ÚC2Ú ... ÚCn ) Ù [(C1 ® A) Ù (C2 ® A) Ù . . . Ù (Cn ® A)]] ® A

  1. Por reducción al absurdo.  Para probar una afirmación A, se supone no A y se procede de alguna de las tres maneras alternativas siguientes:
 
  1. Con esta suposición extra no A se prueba una afirmación no B contradictoria con otra afirmación B ya demostrada anteriormente.
  2. Con la suposición extra no A se prueba una afirmación C y se prueba otra afirmación no C.
  3. Con la suposición extra no A se prueba A.
 

Hay que comentar que si bien la definición original de reducción al absurdo es: “prueba de la falsedad de un enunciado dado, al obtener de él  una consecuencia lógica absurda”, lo que simbolizamos como [A ® (C Ù ØC)] ® ØA, nosotros lo usamos en forma positiva para probar la verdad de un enunciado A, usando la verdad lógica conocida como principio de tercero excluido (AÚØA), para inferir correctamente A a partir de ØØA. 

13.  Heurística 

Generalmente el proceso de descubrimiento de una demostración es exactamente al revés del proceso lógico deductivo para presentarla como una demostración organizada, terminada y rigurosa. Ejemplificaremos esto especialmente para la prueba directa de enunciados condicionales, o sea afirmaciones de la forma “si A entonces B". Se sugiere construir un "camino" lógico deductivo desde A hasta B, suponiendo A,  pero empezando desde B!. Así pues, los pasos del proceso heurístico serían los siguientes: 

1o.   Suponer A, analizar su significado y contenido, y tenerlo presente para usarlo

7o.   Reducir......, etc. 

En algún paso, si el problema fue convenientemente reducido, con A obtengo Bn y entonces tengo construido el camino completo y se presenta la demostración en orden lógico deductivo y no heurístico: 

                                                 A, Bn, Bn-1, ..., B2, B1, B. 

Otra idea heurística para resolver problemas y que es muy útil en matemáticas, es la idea de representación de un área de conocimiento en otra: para un problema que en su área no es claro o que no se ha podido resolver, el hecho de representarlo en otra área, con relaciones estructurales análogas, puede ser la llave de su solución.  Así, en matemáticas muchos problemas revolucionarios han sido los no bien definidos en su área; aquellos que ha convenido representarlos en otra área. 

Un ejemplo histórico de este estilo fue la creación de la Geometría Analítica, por Descartes, al representar la geometría en el álgebra y así poder trabajar las curvas algebraicamente. Un ejemplo de este siglo fue el genial proceso de Godel de representar la metateoría de la aritmética formal en la aritmética y así poder representar por medio de enunciados formales, propiedades aritméticas que se refieren a propiedades metateóricas de esos mismos enunciados. 
 
 

TEORIA DE CONJUNTOS

 
  1. Introducción.
 

En el año 1874, apareció el primer trabajo revolucionario de Cantor sobre la Teoría de conjuntos. 

Georg Ferdinand Ludwing Philipp Cantor es el creador del concepto. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. 
 
 
 

En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el infinito.

Sabemos que la palabra conjunto implica la idea de una colección de objetos que se caracterizan en algo común. 

En matemática tiene el mismo significado, sólo que a estos objetos se les llama elementos o miembros del conjunto. La noción simple de una colección o conjunto de objetos es fundamental en la estructura básica de las matemáticas.

No puede darse una definición satisfactoria de un conjunto en términos de conceptos simples, por lo tanto la palabra "CONJUNTO" debe aceptarse lógicamente como un término no definido. 

Llamamos conjunto a una colección de objetos (con determinadas características en común) y a los objetos que lo forman se les llama elementos del conjunto. 

Llamaremos universo (U) al conjunto que en un momento dado es usado como marco de referencia para formar conjuntos. 

Un conjunto queda determinado por una colección de atributos que los elementos del universo pueden o no poseer. Así, los elementos del universo que sí posean los atributos requeridos forman el conjunto. 

Conjunto y universo son términos no definidos.

Diremos que un conjunto está descrito por enumeración si se han dado explícitamente todos sus elementos y está descrito por comprensión si sus elementos están dados en forma implícita mediante una frase que los describa. 

 
 

2. Clases de Conjuntos 

CONJUNTO FINITO – Es aquel que consta de un cierto número de elementos distintos, es decir si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar puede acabar. En caso contrario, el conjunto es infinito.  

M = { x / x es un río de la tierra } Conjunto finito

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... } Conjunto infinito

P = { x / x es un país de la tierra } Conjunto finito

V = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... } Conjunto infinito 
 

IGUALDAD DE CONJUNTOS 

Se dice que 2 conjuntos A y B son iguales cuando ambos tienen los mismos elementos, es decir si cada elemento de A pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. La igualdad se denota A = B.

En la igualdad, el orden de los elementos de cada conjunto no importa. 

A = {1, 2, 3, 4}

                    

C = {1, 2, 3, 3, 4, 1}

                  

E = {vocal de la palabra mundo}

B = {3, 4, 1, 2}

                    

D = {1, 2, 2, 3, 4, 4,}

                  

F = {u, o}

                                           

A = B

                    

C = D

                  

E = F

 
 

CONJUNTO VACÍO 

Es un conjunto que carece de elementos. Se suele llamarle conjunto nulo, y se le denota por el símbolo ø o { }.  

A = { Los perros que vuelan }

   

A = { }

  

A = Ø

B = { x / x es un mes que tiene 53 días}

    

B = { }

  

B = Ø

C = { x / x3 = 8 y x es impar }

   

C = { }

  

C = Ø

D = { x / x es un día de 90 horas }

    

D = { }

  

D = Ø

 
 

CONJUNTO UNITARIO 

Es todo conjunto que está formado por un sólo y único elemento.  

A = { 5 }

B = {números pares entre 6 y 10} = { 8 }

C = {la capital del Perú } = { Lima }

D = {x / 2x = 6} = {3} 
 

CONJUNTO UNIVERSAL 

Es el conjunto que contiene a todos los elementos del discurso. Es un término relativo. Se le denota por la letra U. 

Sean los conjuntos:

A = { aves }

    

B = { peces }

   

C = { conejos }

   

D = { monos }

Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D. Es

U = { animales }

. 
 

CONJUNTO POTENCIA

La familia de todos los subconjuntos de un conjunto M se llama Conjunto Potencia de M. Se le denota como 2M .  

a)

M = { 1, 2 }

  

El conjunto M tiene 2 elementos

 

2M = { {1}, {2}, {1, 2}, ø}

  

entonces 22 = 4 elementos

       

b)

M = { 1, 2, 3 }

  

El conjunto M tiene 3 elementos

 

2M = { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, ø}

  

entonces 23 = 8 elementos

       

Si un conjunto M es finito con "n" elementos, entonces su conjunto potencia 2M tendrá 2n elementos. 

CONJUNTOS DISJUNTOS

Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común entonces A y B son disjuntos.  

Conjuntos disjuntos

      

Conjuntos no disjuntos

         

A = { 2, 4, 6 }

      

M = { o, p, q, r, s }

B = { 1, 3, 5 }

      

N = { s, t, v, u }

A y B son disjuntos.

      

M y N no son disjuntos.

         

C = { x/x es una letra del alfabeto }

      

P = { x/x es una letra de la palabra aritmética }

D = { x/x es un número }

      

Q = { x/x es una letra de la palabra algebra }

C y D son disjuntos

      

P y Q no son disjuntos

 
 
  1. Diagrama de Venn
 

A cada conjunto se le considera encerrado dentro de una curva (plana) cerrada. Los elementos del conjunto considerado pueden ser específicamente dibujados o pueden quedar (implícitamente) sobreentendidos.  

Los diagramas son empleados, para representar tanto a los conjuntos como a sus operaciones, y constituyen una poderosa herramienta geométrica, desprovista de validez lógica.

  Pertenencia / NO pertenencia: 

             (x pertenece al conjunto A): indica que x tiene los atributos que determinan al conjunto A.

             (x NO pertenece al conjunto A) 
 

  1. Cuantificador
 

Una palabra o frase que indique cuántos objetos o cosas cumplen con determinada propiedad, se llama un cuantificador. 

Generalmente, para convertir una proposición abierta (función proposicional) en una proposición, se utilizan los llamados cuantificadores: 

  1. Existencial: Y se lee "existe, al menos, un x tal que se verifica P(x)".
 

        Para decir "existe un único x tal que P(x)" escribimos: . 

    b) Universal: . Y se lee "para todo x se verifica P(x)".  

Las expresiones cuantificadas universal o existencialmente es una nueva proposición que tiene un valor de verdad que se establece en los siguientes axiomas de verdad: 

  1. La proposición “” es falsa si al menos un elemento del dominio D, hace falsa la proposición P(x).
  2. La proposición “” es verdadera cuando hay al menos un valor x en el dominio D que haga verdadera la proposición P(x) y será falsa si no existe un solo elemento del dominio que haga verdadera a P(x).
 
 
  1. Subconjuntos.

Sean A y B dos conjuntos, diremos que A es un subconjunto de B que escribiremos , si para toda x que pertenece a A se tiene que x también pertenece a B. Es decir, todos los elementos de A lo son también de B. 
 

           Si A no es subconjunto de B, lo denotaremos por .   

           Para todo conjunto A:  . 

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Diremos que A es un subconjunto propio de B si y sólo si: 

  1.   y
 

La proposición es verdadera si y sólo si donde P es el conjunto solución de p(x) y Q es el conjunto solución de q(x). 
 

6. Negación de una Proposición 

Dada una proposición p, se llama proposición negativa (o negación) de p, y se escribe , a la afirmación que dice "no p". es verdadera cuando p es falsa.

Algunas negaciones más comunes de proposiciones cuantificadas: 
 

                        Proposición                            Negación

                           Todos                             Algunos .... no

                           Algunos                             Ningún

                           Algunos ... no                   Todos

                           Ningún                               Algunos 
 

7. Negación de los cuantificadores.

La negación de los cuantificadores es de la siguiente forma: 

   a)

   b)  
 
 
 

Si consideramos a U como el conjunto universo y , definimos el complemento de A, que denotaremos por como: 
 
 
 
 
 

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, definimos el conjunto diferencia como sigue: 
 
 

A’ se puede considerar como la diferencia entre U y A. Osea: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                 A – B = A

                                                                                                                     
 
 
 
 
 
 
 

                                   A – B                                                     
 
 


 

8. Álgebra Proposiciones / Álgebra Conjuntos. 
 

Álgebra de Proposiciones.

Álgebra de Conjuntos.

Leyes de idempotencia.

  
 

Leyes de idempotencia.

  
 

Leyes asociativas.

  
 

Leyes asociativas.

  
 

Leyes conmutativas.

  
 

Leyes conmutativas.

  
 

Leyes distributivas.

  
 

Leyes distributivas.

  
 

Ley de complemento.

  

Leyes de identidad.

   

     

Leyes de Morgan.

  
 

Leyes de complemento.

   

         

   

Leyes de Morgan.

  
 
 
 
 
  1. Correspondencia Biunívoca
 

Diremos que hay una correspondencia biunívoca (o uno a uno) entre los conjuntos A y B si y sólo si cada elemento del conjunto A está relacionado con uno y sólo un elemento del conjunto B. 

La correspondencia uno a uno entre A y B no es única. 
 
 
 
 

                            a        2                       a        3 
 
 

                            e         5                       e         4 
 
 

                             i          1                       i          2 
 
 

                            o          3                      o         1 
 
 

                            u          4                      u         5                   etc. 
 

  1. Cardinalidad
 

Llamaremos una sección del conjunto de los números naturales,que

denotaremos por al conjunto de los primeros números naturales, esto es: 

                     

Si existe una correspondencia uno a uno entre un conjunto A y una sección de los naturales, diremos que es la cardinalidad del conjunto y lo denotaremos por . 

De la definición anterior se deduce que la cardinalidad de un conjunto es el número de elementos de éste. 

Diremos que la cardinalidad del conjunto vacío es cero, osea: 
 
 

Diremos que un conjunto A es finito si existe una correspondencia biunívoca entre el conjunto A y una sección de los naturales .

Si un conjunto no es finito, lo llamaremos conjunto infinito. 
 
 
 

Cuando dos conjuntos no son iguales se pueden presentar dos situaciones que son: 
 
 

  1. A y B son diferentes, pero tienen elementos en común.
 
 
 
 
 
 
 

                                      

  1. A y B son diferentes y además A y B no tienen elementos en común, cuando esto sucede diremos que A y B son conjuntos disjuntos.
 

       Dos conjuntos A y B serán conjuntos disjuntos o ajenos si y sólo si . 
 
 

    
 
 
 

Mediante el concepto de cardinalidad, diagramas de Venn-Euler y las propiedades de las operaciones de conjuntos (Álgebra de Conjuntos) podremos determinar el número de elementos de un conjunto 

Otro tipo de conjuntos de interés son aquellos conjuntos cuyos elementos son también conjuntos. Si hablamos, por ejemplo, del conjunto de estudiantes de una Universidad, podemos pensar en el conjunto formado por todos los estudiantes de dicha Universidad.  

También podemos referirnos al conjunto formado por todas las carreras que se imparten en dicha Universidad. En esta segunda forma de expresar el conjunto, los elementos son a la vez el conjunto formado por el conjunto de estudiantes de cada una de las carreras.  
 
 

Aí, por ejemplo, si denotamos por  

. Y si tomamos A = carrera de Psicología, encontramos que: que a la vez es un conjunto. Entonces diremos que C es un conjunto de conjuntos. 

Si A es un conjunto cualquiera, definimos el conjunto potencia de A como el conjunto formado por todos los subconjuntos de A y lo denotaremos por . 

Si A tiene elementos, el conjunto potencia de A tendrá elementos y por esta razón es costumbre denotar al conjunto potencia por . Osea: 
 
 
 

"O" EXCLUSIVO. 
 

        Definimos Tabla de Verdad para ("O" EXCLUSIVO). 

 

      y queremos demostrar (la equivalencia) mediante Tablas de Verdad que:  
 
 
 

             

V

V

F

F

F

F

F

V

F

F

V

V

F

V

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

F

 

Decimos que las dos proposiciones son equivalentes dado que tienen la misma tabla de verdad. 
 
 
 

                    "O" NO EXCLUSIVO:

                    IF P OR Q THEN

          message(OR_VERDADERO)

         message(OR_FALSO)

                    "O" EXCLUSIVO:

                     IF (P AND NOT Q) OR (NOT P AND Q) THEN

COMENTARIOS

 

Es difícil hacer comentarios sobre matemáticas,  ya que la materia es tan lógica que uno no puede estar en desacuerdo. Personalmente me gustan mucho las matemáticas y las disfruto, me parece como un juego. Parte de este trabajo lo tomé de mis propios apuntes de preparatoria, agregándole algunas cosas de otros libros. 

BIBLIOGRAFÍA 

Zubieta, G. Manual de Lógica para Estudiantes de Matemáticas, Editorial Trillas, 1977. 

Zubieta, G. Taller de Lógica Matemática (Análisis Lógico), Mc Graw-Hill, 1993. 

Cantú Salinas Humberto Matemáticas I  (Preparatoria Abierta), S.E.P.  Editorial Mexicano S:A: de C.V. 1995