Lección
1
Proposiciones categóricas son
afirmaciones acerca de categorías o clases. Toda proposición categórica es un
enunciado acerca de los miembros de dos clases, y de relación entre ellos. Por
ejemplo:
Ningún soltero es casado.
Algunos Mazda no son fabricados en
Japón.
Estos
tipos de enunciados (sujeto-predicado) son los que encontramos en una forma de
lógica, conocida como aristotélica, tradicional, o de silogismos
categóricos.
Aristóteles
(384-322 a.C.) fue el primero en estudiar las formas de la argumentación; a él
se le atribuye la invención de la lógica como ciencia. La forma de argumentación
que él identificó y sistematizó usaba enunciados
sujeto-predicado en un silogismo (dos premisas y una conclusión). Debido a que
esta fue la forma de lógica que, por propósitos prácticos, se usó hasta el siglo
XIX, se conoce como lógica tradicional. Porque fue trabajada primero por
Aristóteles, se le conoce como lógica aristotélica. Finalmente, porque trata de
los enunciados categóricos en forma silogística, se le conoce como la lógica de
los silogismos categóricos.
Aunque
la lógica moderna ha modificado la lógica tradicional y, de hecho, la ha
superado, vale la pena estudiar la silogística categorial por dos razones. Primera, porque la lógica
tradicional ha jugado un papel importante en la historia del pensamiento
occidental. De hecho, es la lógica que la mayoría de gente reconoce como tal.
Segunda, porque la silogística categorial es un
sistema deductivo relativamente fácil y accesible. Emplea un número limitado de
formas proposicionales, y la validez de sus silogismos
pueden ser comprobada sin mayor dificultad técnica. Más aún, uno encuentra
silogismos categóricos en el lenguaje ordinario. De manera que empezaremos
nuestro estudio de la lógica deductiva con una versión actualizada del silogismo
tradicional. Pero para hacer esto, necesitamos estudiar la proposición
categórica primero.
Como
se dijo antes, una proposición categórica es un enunciado que relaciona dos
clases, o categorías. Las dos clases en cualquier proposición categórica se
colocan en una relación de sujeto-predicado. Algo es predicado, o dicho acerca
de, un sujeto. Lo que se dice es
que una clase (el sujeto) está incluida o excluida de la clase del predicado.
Así, para referirnos a uno de los ejemplos de arriba, "Ningún soltero está
casado" dice que la clase de los solteros (el sujeto) está completamente
excluida de la clase de los casados (el predicado). De manera semejante, decir
que todos los chimpancés son primates es afirmar que cualquier sujeto que sea un
chimpancé estará incluido en la clase de los primates (el predicado).
Existen
cuatro clases de proposiciones categóricas. Usando "S" y "P" como símbolos,
estas son:
Universal afirmativa: Todo S es
P
Universal negativa:
Ningún S es P
Particular afirmativa: Algún S es
P
Particular negativa: Algún
S no es P
Las
palabras "todo" y "algún" se llaman "cuantificadores" porque indican la cantidad
del sujeto. Esto es, especifican cuánto elementos de la clase del sujeto están
incluidos en la clase del predicado. ("Ningún" indica cero miembros.) El verbo
en una proposición categórica correctamente expresada, es siembre alguna forma
del verbo "ser", y se conoce como "cópula". Tenemos, entonces, el siguiente
esquema:
Cuantificador:
todo, ningún, algún
Sujeto:
la clase que se incluye en o que se excluye de, el
predicado
Cópula:
es, son. era, eran
Predicado:
la clase de la cual el sujeto es o no es parte
Este
análisis, sin embargo, no indica claramente si una proposición es afirmativa o
negativa en calidad. Una proposición afirmativa es aquella que sostiene que el
sujeto está incluido en la clase del predicado; una negativa, aquella que afirma
que el sujeto está excluido del predicado. De manera que un esquema más completo
agregaría:
Cualificador negativo: no
Ya
que las cuatro proposiciones categóricas básicas tienen un sujeto, un predicado
y una cópula, una forma de distinguirlas es pro su cantidad y cualidad. Cada
proposición será universal o particular (y se distinguirá por la cantidad), y
afirmativa o negativa (y se distinguirá por la calidad). De manera que podemos
distinguir las proposiciones como sigue:
Universal afirmativa: Todo S es
P
Universal negativa:
Ningún S es P
Particular afirmativa: Algún S es
P
Particular negativa: Algún
S no es P
Existe
otra forma de distinguir estas cuatro proposiciones. Podemos poner en un
cuadrado de oposiciones. Éste indica que la universal afirmativa y la particular
negativa son contradictorias, así como la universal negativa y la particular
afirmativa. Esto es, que si una es verdadera, la otra debe ser falsa. Veamos la
tabla:
AFIRMATIVA
NEGATIVA
UNIVERSAL
Todo S es P
Ningún S es P (o bien: Todo S es no P)
PARTICULAR
Algún S es P
Algún S no es P
Tradicionalmente,
la proposición universal afirmativa se llama "A", y la particular afirmativa,
"I" (por las dos primeras vocales en Affirmo).
La universal negativa se llama "E", y la particular negativa, "O" (por las dos
vocales de Nego). Tenemos, entonces, el
siguiente cuadro:
AFIRMATIVA
NEGATIVA
UNIVERSAL
A
E
PARTICULAR
I
O
Ejercicio
1
Lección
2
Silogismos
Categóricos
Un
silogismo está compuesto de dos enunciados, de los cuales se infiere un tercero,
o conclusión. Silogismos categóricos son silogismos compuestos por tres
proposiciones categóricas. Son un tipo de argumento deductivo, es decir, un
argumento en el cual la conclusión se sigue necesariamente de las premisas
(suponiendo que el argumento es válido). Dos ejemplos:
(1) Todos
los romanos son mortales.
Todos los ostienses son
romanos.
Por lo tanto, todos los ostienses son
mortales.
(2) Todos
los mamíferos son animales.
Todos los humanos son mamíferos.
Por lo tanto, todos los humanos son mamíferos.
Los
griegos fueron los primeros en formular argumentos como estos, y desde entonces
se han usado en lógica.
Los
dos silogismos categóricos anteriores tienen la misma forma. Cada uno tiene dos
premisas y una conclusión. La primera premisa se llama premisa mayor, y la
segunda, menor. Las dos premisas comparten un mismo término, llamado término
medio. En el primer ejemplo, el término medio es "romanos"; en el segundo,
"mamíferos". Dado que cada uno tiene el término medio en común, no podemos
distinguir las premisas por el término medio. Lo que nos indica cuál de las dos
premisas es la mayor es la presencia del predicado de la conclusión: "mortales",
en el primer ejemplo; "animales", en el segundo. De manera semejante, la premisa
menor contiene el sujeto de la conclusión: "romanos" y "humanos",
respectivamente. La forma de estos dos silogismos (y de todos los demás de la
Figura 1), se puede mostrar de esta manera:
Premisa Mayor:
Término Medio
Predicado
Premisa Menor:
Sujeto
Término Medio
Conclusión:
Sujeto
Predicado
Note
que cada una de las proposiciones en los ejemplos anteriores es de la forma A:
Todo S es P. De esta forma, podemos representar la forma de nuevo, no solamente
tomando en cuenta la posición de los términos, sino también la clase de
proposición que se usa:
Premisa Mayor:
Todo M es P
Premsia Menor:
Todo S es M
Conclusión:
Todo S es P
Ejercicio
2
Modo
y Figura
Todo
silogismo categórico tiene tres términos, y cada uno de ellos se usa dos veces
en las tres proposiciones que componen el silogismo. El predicado se usa en la
premisa mayor y en la conclusión. El sujeto, en la premisa menor y en la
conclusión. El término medio se usa en las dos premisas. Dependiendo de la clase
de proposiciones (A, E, I, O) de que conste el silogismo, así será el modo. Un
silogismo que conste sólo de proposiciones universales afirmativas, por ejemplo,
será del modo AAA. Uno con proposiciones de clase E como premisas, y conclusión
de clase I, será del modo EEI. Dado que hay cuatro clases de proposiciones
categóricas y tres proposiciones en cada silogismo, existen 4x4x4=64 modos
posibles.
AAA
EAA
IAA
OAA
AAE
EAE
IAE
OAE
AAI
EAI
IAI
OAI
AAO
EAO
IAO
OAO
AEA
EEA
IEA
OEA
AEE
EEE
IEE
OEE
AEI
EEI
IEI
OEI
AEO
EEO
IEO
OEO
AIA
EIA
IIA
OIA
AIE
EIE
IIE
OIE
AII
EII
III
OII
AIO
EIO
IIO
OIO
AOA
EOA
IOA
OOA
AOE
EOE
IOE
OOE
AOI
EOI
IOI
OOI
AOO
EOO
IOO
OOO
Estos
64 modos se pueden distribuir en cuatro figuras. Cada figura está determinada
por la posición del término medio. Ya que el término medio no puede aparecer en
la conclusión, hay solamente cuatro posibles formas de distribución de los
términos:
M
P
P
M
M
P
P
M
(1)
S
M
(2)
S
M
(3)
M
S
(4)
M
S
------------
-------------
------------
------------
S
P
S
P
S
P
S
P
Dado
que para cada figura hay 64 modos posibles, tenemos un total de 256 silogismos
posibles. Cada silogismo se distingue de los demás por su modo y figura. Los
ejemplos de arriba, son AAA-1, por ejemplo.
Ejercicio
3
Lección
3
Cómo
comprobar la validez de los silogismos
Existen
varios métodos para comprobar la validez de los silogismos. Un método popular es
el de los diagramas de Venn. Otros hacen uso de reglas
que dependen de la noción de distribución.
El
método que usaremos aquí es el de la refutación por analogía lógica. Lo hacemos
así porque ese método hace uso de un concepto central de la lógica deductiva: el
de la validez. Se dice que un argumento es válido si es imposible que tenga
premisas verdaderas y conclusión falsa. Con otras palabras, si existe algún
argumento que tenga premisas verdaderas y conclusión falsa, su forma
necesariamente es inválida.
Identificar
ejemplos de patrones argumentativos inválidos es hacer uso del procedimiento del
contrajemplo. Si encontramos un solo caso en el cual a
partir de premisas verdaderas obtenemos una conclusión falsa, probamos que la
forma de ese silogismo es inválida. Significa que no podemos confiar en él el
100% de las veces.
No
siempre pasa que todo argumento inválido contenga una combinación de premisas
verdaderas y conclusión falsa. Existen otras
posibilidades:
Premisa mayor verdadera, premisa menor falsa, y conclusión
verdadera
Premisa mayor falsa, premisa menor falsa, y conclusión
falsa
Premisa mayor verdadera, premisa menor verdadera, y conclusión
verdadera
Estas
son sólo algunas posibilidades. Sólo se da una situación una imposible: forma
válida, premisas verdaderas y conclusión falsa. Si uno encuentra un argumento
que tiene premisas verdaderas y conclusión falsa --incluso si algunas veces la
misma forma tiene otra combinación de premisas y conclusión
verdaderas y falsas--, entonces uno sabe que su forma es inválida. Basta
con una vez en que tengamos premisas verdaderas y conclusión falsa para mostrar
que la forma del argumento es inválida. Veamos cómo trabaja este método.
Supongamos el siguiente modelo:
Ningún plato es perro.
Ningún cuarto es plato.
Por lo tanto, ningún cuarto es perro.
Todas
las proposiciones son verdaderas. Puede que el silogismo sea válido. Pero,
experimentando, podemos producir el siguiente silogismo análogo. Tiene
exactamente la misma forma —EEE-1—, pero diferentes
términos:
Ningún canguro es vaca.
Ninguna Jersey es canguro.
Ninguna Jersey es vaca.
En
este caso tenemos premisas verdaderas, pero conclusión falsa. No es cierto que
ninguna Jersey sea vaca.
De
manera que nuestro silogismo análogo ha producido un contraejemplo. La forma
EEE-1 ha producido una conclusión falsa
a partir de premisas verdaderas. El problema no es sólo con este
silogismo. Es la forma la que no es confiable.
La
promesa de un argumento deductivo (válido) es que uno puede confiar en que si
tiene premisas verdaderas, obtendrá una conclusión verdadera. Pero, como este
caso muestra, la forma EEE-1 ha incumplido esta promesa. Basta con un contrajemplo para mostrar que la forma es inválida. Recuerde
que se espera un cien por ciento de confiabilidad. De manera que si falla una
sola vez, es inválida. Funciona algunas veces, tal vez la mayoría; pero no todas
las veces.
Con
suficiente imaginación y paciencia, uno podría probar los 256 posibles
silogismos categóricos, y descubrir cuáles son inválidos. El resto serían los
válidos. Pero ésta es la limitación del método. A menudo se requiere mucha
imaginación y persistencia para descubrir que un silogismo es inválido. Puede
que a uno se le ocurra un contraejemplo a la primera, pero puede que
no...
Ejercicio
4
Lección
4
Diagramas
de Venn
Lógica
Proposicional
Hasta aquí hemos visto la lógica
tradicional. Vamos a ver ahora la lógica proposicional, desarrollada a partir
del siglo XVIII por autores como Boole, Frege, Peano, Russell, Wittgenstein, Peirce, Cantor y otros.
A cualquier proposición, sea que tenga la forma sujeto-predicado o no, se le puede asignar un valor de verdad y se puede en poner en relación lógica con otras proposiciones. Por supuesto, esto complica un poco las cosas, porque la proposición puede ser muy compleja, y sin embargo su valor de verdad solamente es uno: verdadera o falsa.
Podemos,
sin embargo, descomponer estas proposiciones. Por ejemplo, si decimos “Julio y
Aura se fueron al cine”, estamos diciendo que
Julio fue al cine.
y
Aura fue al cine.
Estas
proposiciones “atómicas” se juntan para formar una más compleja. En lógica
proposicional se trata de descubrir el valor de verdad de las proposiciones
moleculares, a partir del valor de verdad de las proposiciones atómicas y de los
conectivos lógicos (y, o, entonces, si y solo si, no). Por ejemplo, si sabemos
que es verdad que Julio fue al cine, y que es verdad que Aura fue al cine,
podemos afirmar que es verdad que Julio fue al cine y Aura fue al cine
(es decir, que Julio y Aura fueron al cine).
La
lógica proposicional se basa en tres nociones clave: valor de verdad, operadores
lógicos y variables. Cada uno de estos conceptos puede ser simbolizado: V o F,
>,
P. La simbolización hace que a esta lógica se le conozca también como lógica
matemática.
Cada
enunciado es o verdadero o falso. En el lenguaje ordinario, por supuesto,
admitimos cierto grado de verdad, o de indeterminación. Puede que algo no sea ni
verdadero ni falso. Pero en lógica proposicional no hay lugar para “tal vez”, o
“es probable”, o “no se sabe”. Cada proposición tiene un valor de verdad: o es
verdadera, o es falsa. Si su valor de verdad es indeterminado, no se le pude
considerar una proposición atómica. Esto quiere decir que la lógica
proposicional es una lógica binaria. Es la misma que la que emplean las
computadoras: 1-0, verdadero-falso, pasa-no pasa. También se le llama álgebra
booleana, en honor a George
Boole.
La
lógica proposicional hace uso de los operadores lógicos, esto es, símbolos que
indican la relación sintáctica precisa entre las proposiciones. Normalmente, se
usan cinco operadores lógicos, que corresponden a las relaciones de conjunción,
disyunción, condicionalidad, bicondicionalidad y negación.
Conjunción.
Una forma de unir proposiciones es afirmando ambas. A veces, por ejemplo,
decimos: “Está lloviendo, y el sol brilla”, o bien: “Está lloviendo, pero el sol
brilla”. Estas oraciones compuestas contienen dos proposiciones que se afirman
simultáneamente. Usaremos “&” para representar esta
relación.
Disyunción.
Una proposición conjunta es verdadera, si y sólo si las dos proposiciones que la
componen son verdaderas. Pero algunas veces una proposición compuesta será
verdadera, aun cuando uno de sus componentes sea falso o posiblemente falso.
Así, si decimos: “Jorge está en su cuarto o en la sala”, la oración sería
verdadera si está en cualquiera de los dos lugares. Usaremos “v” para indicar la
relación disyuntiva, que quiere decir “esto o esto, o ambos”. Por supuesto,
Jorge no puede estar a la vez en su cuarto y en la sala. Pero uno podría decir,
por ejemplo, “Esta tarde iré a la biblioteca, o estudiaré en la casa, o tal vez
ambas cosas”. Seguramente me alcanzaría la tarde para hacer ambas cosas, si me
lo propusiera.
Condicional.
Éste es el más raro de los operadores lógicos, porque se pude usar en enunciados
que parece que no tienen relación uno con otro. Vale decir que en lógica
proposicional lo único que cuenta es la relación sintáctica, con lo cual es
válido formar un enunciado como “si la luna es de queso, hoy es jueves”. El
símbolo del condicional es >,
y se lee: “si... entonces”.
Condición
suficiente y condición necesaria.
Se dice que un evento A es condición suficiente para un evento B cuando
todo lo que se requiere para que ocurra B es A. Por ejemplo, tener catarro es
suficiente para sentirse mal; si tengo catarro, me siento mal. Puede que otras
cosas me hagan sentir mal, también —tener indigestión, haber dormido poco—, pero
basta con tener catarro para que me sienta mal. Por otra parte, se dice que un
evento A es condición necesaria para un evento B cuando B no puede
ocurrir a menos que ocurra A. Así, el aire es una condición necesaria para la
vida; por eso digo: “si vivo, tengo aire para respirar”. Puede que necesite
otras cosas para vivir, pero el aire es necesario, no puedo vivir sin aire; si
no tengo aire para respirar, me muero). Note que:
o
Cuando
la proposición condicional tiene la forma típica “si... entonces”, el primer
elemento —el que va después del “si”— es la condición suficiente, y el segundo
elemento —el que va después de “entonces”— es la condición
necesaria.
o
No
se pude cambiar indiscriminadamente el orden de los elementos en una proposición
condicional. Así, no es lo mismo decir “si tengo catarro, me siento mal”, que
“si me siento mal, tengo catarro”, pues pueden existir otras cosas que me hagan
sentir mal, no sólo el catarro. Pero sí puedo decir “me siento mal si tengo
catarro”. Lo que va después del “si...” es la condición suficiente, aunque se
cambie el orden.
o
Por
otra parte, si digo “si estudio, gano el examen”, estoy estableciendo, aunque
sea equivocadamente, que estudiar es condición suficiente para ganar el examen.
El evento A (la condición suficiente) es todo lo que se necesita (ingenuo de mí)
para que ocurra el evento B (ganar el examen). En este caso, estudiar no es, en
realidad, condición suficiente para ganar el examen; hacen falta otras cosas:
hacer el examen, llegar puntualmente, no estar nervioso, haber dormido bien,
etc. Lo que puedo decir, en todo caso, es que estudiar es condición necesaria
para ganar el examen. De manera que sería mejor decir: “si ganó el examen, es
porque —al menos— estudió” (suponiendo que sea un individuo honrado, claro!). En este caso, estudiar es condición necesaria para que
ocurra el evento A: ganar el examen. ¿Cómo cambiar el orden? De esta manera: la
proposición anterior es equivalente a la siguiente: “si no estudia, no gana el
examen”. Note las negaciones. Para cambiar el orden de los elementos en una
proposición condicional, necesito introducir negaciones. Así, si antes decía:
“si vivo, tengo aire”, puedo también decir: “si no tengo aire, no vivo”. O bien,
“si tengo catarro, me siento mal”, es equivalente a “si no me siento mal, no
tengo catarro”. Más adelante veremos que P >
Q
= ~Q
>
~P.
Bicondicionalidad.
Algunas veces queremos afirmar dos condicionales simultáneamente; es decir, que
algo es condición necesaria y suficiente de algo más. Podemos decir: “si vivo,
respiro, y si respiro, vivo”, lo que es equivalente a “vivo si y sólo si
respiro”. El signo del bicondicional es =.
Negación.
La negación le da la vuelta a los valores de verdad de una proposición. Así, si
P es V o F, ~P será F o V.
|
Operador |
Función |
Sentido |
Traducción |
|
& |
Conjunción |
y |
P
& Q: “p y q” |
|
v |
Disyunción |
o
inclusivo |
P
v Q: “p o q (o ambos)” |
|
> |
Condicional |
si,
entonces |
P>Q:
“si p, q” |
|
= |
Bicondicional |
si
y sólo si |
P
=
Q:
“p si y sólo si q” |
|
~ |
Negación |
no |
~P:
“no P” |
Se
usan, además, paréntesis: (P>Q)
v R, (P & Q)>(S
v T).
Note,
además, que se acostumbra usar letras mayúsculas para representar las
proposiciones atómicas.
Lección
6
Tablas
de verdad
Conjunción, disyunción, condicional, bicondicional, negación
La lógica proposicional es un intento de
simbolizar automáticamente nuestro lenguaje proposicional ordinario. Como se
dijo antes, no trata de profundizar en la lógica interna de las proposiciones.
Tampoco puede hacerse cargo de todo tipo de expresiones. Se limita a enunciados
que son verdaderos o falsos. Pero para este tipo de enunciados proporciona una
forma de simbolizarlos completamente, usando variables (letras mayúsculas) y
constantes (los símbolos de los operadores lógicos). Ya vimos las constantes.
Ahora las definiremos con más precisión haciendo uso de las tablas de
verdad.
Una tabla de verdad es un mecanismo diseñado
para especificar todos los posibles valores de verdad de una proposición atómica
o compuesta. La tabla de verdad de una proposición atómica es muy sencilla, pues
sólo puede ser verdadera o falsa:
S = El sol brilla
S
__
v
f
La tabla de verdad para una proposición
compuesta, como veremos, puede ser muy compleja, puede contener muchas columnas
y filas. La fórmula para determinar el número de filas de una tabla de verdad es
la siguiente: 2 n , donde n es el número de
variables de una proposición. Así, para una proposición que conste de dos
variables, P y Q, el número de filas será de 2 a la 2= 4:
P
Q
________
v
v
v
f
f
v
f
f
Si queremos hacer una tabla de verdad para la
proposición compuesta P&Q, agregamos una
columna:
P
Q
P&Q
________________
v
v
v
v
f
f
f
v
f
f
f
f
Hemos dado todos los posibles valores de verdad
para las proposiciones atómicas, así como para la proposición compuesta. Ahí
decimos que para las cuatro situaciones posibles que involucren P y Q, P&Q será verdadera solamente en la primera situación, y
falsa en las demás. La proposición compuesta es verdadera si y sólo si, ambas
proposiciones atómicas son verdaderas. Con otras palabras, si cualquiera de las
proposiciones atómicas es falsa, la proposición compuesta de ambas también es
falsa.
Disyunción.
La tabla de verdad de la disyunción es la
siguiente:
|
P |
Q |
P v Q |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
Note que el uso inclusivo de “o” que
ejemplifica la anterior tabla de verdad no coincide siempre con el lenguaje
ordinario. Existe un “o exclusivo”, como cuando decimos “tómese la pastilla
después de almuerzo o después de cena”: una de dos, pero no
ambas.
Condicional
La tabla de verdad del condicional no es fácil
de comprender, porque no coincide del todo con el lenguaje ordinario. La tabla
de verdad es la siguiente:
|
P |
Q |
P > Q |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
El caso que presenta más objeciones es el de la
tercera fila. Veamos un ejemplo:
“Si Gaby está en la
playa, está nadando”
Supongamos que no está en la playa (es decir, P
= 0). ¿Es cierto que si Gaby está en la playa está
nadando? Si estuviera… Lo que nos dice el enunciado compuesto es “si estuviera,
estaría nadando”. Por lo tanto, es verdadero.
¿Y si ni está en la playa ni está nadando? Lo
mismo: si estuviera, estaría…
Desde luego, si está en la playa pero no está
nadando (el caso de la segunda fila), se incumple nuestra condición suficiente,
que dice que para que Gaby esté nadando es suficiente
con que esté en la playa. Es decir, “si Gaby está en
la playa, está nadando”; pero Gaby no está nadando,
por no tanto no es cierto el conjunto.
Bicondicional
|
P |
Q |
P = Q |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
Un
ejemplo:
“las luces están encendidas si y sólo si Juan está en la casa”. Si
falla cualquiera de las dos condiciones, el bicondicional no es verdadero. ¿Qué pasa si las dos son
falsas? Sigue siendo verdadera, pues dice algo así como “si las luces estuvieran
encendidas, querría decir que Juan está en casa”.
Negación
Sólo
se aplica a una proposición:
|
P |
~P |
|
1 |
0 |
|
0 |
1 |
Lección
7
Prueba
de la validez por tablas de verdad
Hasta
aquí hemos usado tablas de verdad para definir los operadores lógicos. Estas
también se pueden usar para probar la validez de los
argumentos.
Recuerde
que un argumento válido es aquel en el que si las premisas son verdaderas, la
conclusión debe ser verdadera. Estas relaciones se pueden ver fácilmente en una
tabla de verdad, porque esta muestra todas las posibilidades. Así, si se da una
o más situaciones en las que tengamos premisas verdaderas y conclusión falsa,
esa forma será inválida, pues no preserva la verdad de las
premisas.
Digamos
que tenemos un argumento como el siguiente:
Si Juan y María van a la playa, lloverá.
Juan y María no van a la playa.
Por lo tanto, no lloverá.
Traducido
a símbolos:
( J & M) >
L
~ (J & M)
___________
~ L
La
tabla de verdad correspondiente:
|
|
|
|
|
Premisa
1 |
Premisa
2 |
Conclusión |
|
|
J |
M |
L |
(J&M)>L |
~(J&M) |
~L |
|
1) |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
2) |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
3) |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
4) |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
5) |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
6) |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
7) |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
8) |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
Hagamos
las premisas:
|
|
|
|
|
Premisa
1 |
Premisa
2 |
Conclusión |
|
|
J |
M |
L |
(J&M)>L |
~(J&M) |
~L |
|
1) |
1 |
1 |
1 |
1
1 |
1 |
1 |
|
2) |
1 |
1 |
0 |
1
0 |
1 |
0 |
|
3) |
1 |
0 |
1 |
0
1 |
0 |
1 |
|
4) |
1 |
0 |
0 |
0
0 |
0 |
0 |
|
5) |
0 |
1 |
1 |
0
1 |
0 |
1 |
|
6) |
0 |
1 |
0 |
0
0 |
0 |
0 |
|
7) |
0 |
0 |
1 |
0
1 |
0 |
1 |
|
8) |
0 |
0 |
0 |
0
0 |
0 |
0 |
Complentando:
|
|
|
|
|
Premisa
1 |
Premisa
2 |
Conclusión |
|
|
J |
M |
L |
(J&M)>L |
~(J&M) |
~L |
|
1) |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
2) |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
3) |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
4) |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
5) |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
6) |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
7) |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
8) |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Hagamos
ahora lo siguiente:
1.
Marquemos
todas las filas con premisas verdaderas (1)
2.
Marquemos
con un cheque las que tienen premisas verdaderas y conclusión
verdadera
3.
Marquemos
con una X las que tienen premisas verdaderas y conclusión
falsa
4.
Escribamos
“válida” si la tabla tiene sólo cheques, e “inválida” si tiene al menos una
X
|
|
|
|
|
Premisa
1 |
Premisa
2 |
Conclusión |
|
|
|
J |
M |
L |
(J&M)>L |
~(J&M) |
~L |
|
|
1) |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
2) |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
3) |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
x |
|
4) |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
☺ |
|
5) |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
x |
|
6) |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
☺ |
|
7) |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
x |
|
8) |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
☺ |
Recuerde:
argumentos válidos son los que tienen premisas verdaderas y conclusión verdadera; inválidos los que presentan al menos un
caso en el que las premisas son verdaderas pero la conclusión es
falsa.
Lección
8
Tabla
de verdad abreviada
Las
tablas de verdad pueden ser engorrosas. Afortunadamente, existe un método que no
requiere que hagamos toda la tabla.
Recordemos
el método del contrajemplo. Se basa en la idea de que
un silogismo válido no puede tener premisas verdaderas y conclusión falsa. Esto
es verdadero para cualquier argumento deductivo. De esa forma, si podemos
asignar a un argumento valores de verdad que den como resultado premisas
verdaderas y conclusión falsa, sabremos que la forma es inválida (habremos
encontrado un contraejemplo). Veamos:
1.
Ponemos el argumento en forma lineal:
|
A
v
B |
B
>
C |
A |
C |
2. Asignamos 1 a las premisas y 0 a la
conclusión. Ponemos los valores de verdad arriba de las premisas y la
conclusión:
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
A
v
B |
B
>
C |
A |
C |
3. Test: ¿Cuáles
serán los valores de verdad de las proposiciones atómicas? Dado el supuesto de
que las premisas son verdaderas y la conclusión falsa, sabemos que C tiene que
ser 0 y A 1
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
A
v
B |
B
>
C |
A |
C |
|
|
|
1 |
0 |
4. Si C es 0, para ser consistente, debemos
poner 0 bajo la C de la segunda premisa. Pero esto quiere decir que B debe ser 0
también, porque si B fuera 1 y C fuera 0, el condicional sería 0. Así que
ponemos dos 0 bajo la segunda premisa:
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
A
v
B |
B
>
C |
A |
C |
|
|
0 0 |
1 |
0 |
5.
Sabemos los valores de A y B (debemos ser consistentes). Los ponemos y de esta
forma completamos la tabla:
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
A
v
B |
B
>
C |
A |
C |
|
1
0 |
0 0 |
1 |
0 |
6.
Hemos mostrado que hay una forma de tener premisas verdaderas y conclusión
falsa, y que por lo tanto el argumento es inválido. Note que esa línea de arriba
sería sólo una línea de la tabla de verdad completa, de 8
filas.
Hagamos
la tabla de verdad abreviada para el argumento siguiente:
Si
el determinismo es verdadero, no somos libres
Pero
somos libres
Por
lo tanto, el determinismo no es verdadero.
D
>
~L, L / : ~D
|
Supongamos |
1 |
1 |
0 |
|
|
D
>
~L |
L |
~D |
|
|
1
0 |
1 |
0 |
|
Pero |
0
|
1 |
0 |
No
podemos sacar una conclusión falsa de premisas verdaderas (la fila de arriba),
por lo tanto la forma es válida.
Lección
9
Lógica
proposicional: reglas de derivación
Las
tablas de verdad son necesarias para probar la validez de las formas de
argumentación. Pero una vez que hemos identificado un número limitado de formas,
no necesitamos demostrar su validez. Existe una variedad de métodos que podemos
usar para trabajar con argumentos complejos. Uno de ellos es la derivación.
Aunque es sencillo y parece mostrar con exactitud el proceso de razonamiento,
también tiene sus desventajas. Por su misma naturaleza como método para derivar
conclusiones verdaderas a partir de premisas verdaderas, no podemos confiar del
todo en él para sabe cuándo un argumento es válido. De manera que, por ahora,
todavía necesitaremos tablas de verdad abreviadas para mostrar la invalidez. Más
aun, un sistema de derivación tiene como veinte o más reglas. (El que usaremos
aquí tiene ocho reglas de inferencia y once reglas de reemplazo.) De manera que
se requiere de cierta memorización.
En
esta lección presentaremos y explicaremos las reglas de inferencia y luego las
usaremos para derivar una conclusión. En la siguiente sección consideraremos las
reglas de reemplazo.
Reglas
de inferencia
Las
reglas de inferencia constituyen algunas de las formas argumentativas válidas,
muchas de las cuales las podemos encontrar no sólo en lógica proposicional, sino
también en otras lógicas, tales como la lógica de predicados y la lógica modal.
Dado que estas ocho reglas son fundamentales, se espera que el estudiante las
memorice:
1.
Modus Ponens (MP):
de P >
Q, y P, se deduce Q
También
conocida como la regla de la afirmación del antecedente, o eliminación del implicador (>E).
Un ejemplo:
Si el sol brilla, María está en la playa.
El sol brilla.
Por lo tanto, María está en la playa.
2.
Modus Tollens (MT):
de P > Q, y ~Q, se infiere ~P
También
conocido como negación del consecuente. Ejemplo:
Si el sol brilla, María está en la playa.
María no está en la playa.
Luego, el sol no brilla.
3.
Silogismo Hipotético (SH): de P
> Q
y Q >
R, deducimos P >
R.
También
se conoce como razonamiento en cadena. Pueden ser más de dos
premisas.
Si el sol brilla, María está en la playa
Si María está en la playa, está nadando.
Si está nadando, estará cansada esta noche.
Por lo tanto, si el sol brilla, María estará cansada esta
noche.
4.
Silogismo Disyuntivo (SD): de P v Q,
y ~P, deducimos que Q.
El sol brilla o está lloviendo
El sol no brilla.
Por lo tanto está lloviendo.
Nótese
que ~P puede ser también ~Q.
No confundirlo con el Modus Tollens.
5.
Conjunción (Conj): de P y Q, deducimos P&Q
Lo
que se dice con esta regla es que si dos proposiciones independientes son
verdaderas, la proposición conjunta también será
verdadera.
El sol brilla
Está lloviendo
Por lo tanto, el sol brilla y está lloviendo.
6.
Simplificación (Simp): De P y Q deducimos P (o Q)
Si
un enunciado conjunto es verdadero, cada una de sus proposiciones atómicas tiene
que ser verdadera.
Está lloviendo y el sol brilla
Por lo tanto, está lloviendo
7.
Adición (Ad). De P inferimos P v
Q
Si
una proposición es verdadera, un enunciado disyuntivo que contenga cualquier
otra proposición es verdadera, independientemente del valor de verdad de la otra
proposición (la añadida), puesto que un enunciado disyuntivo es verdadero cuando
al menos uno de sus disyuntos lo es. De manera que si
sabemos que P es verdadera, P v Q, P v R, P v S… lo será
también.
Está lloviendo
Por lo tanto, está lloviendo o la luna es de queso.
8.
Dilema constructivo (DC): de (P
>
Q) & (R >
S) y (P v
R) inferimos (Q v
S)
Veamos:
Si Juan se va a Alaska, se congelará en invierno.
Si se va a Miami, se asará en verano.
Juan se va a Alaska o a Miami.
Por lo tanto, se congelará en invierno o se asará en
verano.
Ejemplo
de derivación
A ÉB
B É C
~C
A Ú D
D
Primero,
numeramos las premisas y ponemos la conclusión al lado de la última, separada
por una barra y triángulo:
Luego, suponemos que las premisas son
verdaderas y las usamos junto con cualquiera de las ocho reglas de inferencia
para llegar a la conclusión:
Otro ejemplo:
1. F Ú G
2. D É E
3. E É ~F
4. D / \ G
Líneas
Regla
5. D É ~F 2,3 SH
6. ~F 4,5 MP
7. G 1,6 SD